Differential Equations: A Toolbox for Modeling the World by Kurt Bryan, ISBN-13: 978-1638779377

Differential Equations: A Toolbox for Modeling the World by Kurt Bryan, ISBN-13: 978-1638779377

[PDF eBook eTextbook]

• Publisher: SIMIODE (2021)
• Language: ‎ English
• 614 pages
• ISBN-10: 9781638779377
  
• ISBN-13: 978-1638779377
  

This text is designed for a first course in differential equations for high school or undergraduate mathematics, engineering, and science majors, and is suitable as a stand-alone textbook. It is a first of a kind text using a modeling first and throughout approach to motivate and teach differential equations.

The author is a distinguished member of the Department of Mathematics, Rose-Hulman Institute of Technology, Terre Haute IN USA with years of teaching modeling based differential equations. Additionally, he is an author of several books, one on the mathematics of signal processing, and articles in the Education section of the journal, SIAM Review.

This online text of some 600 pages is devoted to a modeling first approach in which a model or several models are posed that lead to the appropriate mathematics under study. This helps to motivate student learning, while students practice the transfer of knowledge of the mathematics over to various disciplines and still appreciate the beauty of the mathematics under study. The text is driven by applications and models and offers small engagements with models through larger modeling activities. Many activities are related to Modeling Scenarios found FREE in SIMIODE – Systemic Initiative for Modeling Investigations and Opportunities with Differential Equations, a non-profit Community of Practice at www.simiode.org which supports students and teachers in using modeling to motivate and teach differential equations.

Hundreds more pages of support materials are available for Students, and also for Teachers, in respective groups at www.simiode.org where registration is FREE. The groups offer materials for success, e.g., hints, solutions, project ideas, and a forum for exchange of ideas.

Glenn Ledder, University of Nebraska, in his review in The UMAP Journal wrote, and quote: “This book is the only one this reviewer is aware of that presents differential equations in a modeling context rather than merely adding a bit of modeling to the standard presentation. If you want to study the mathematics of differential equations in a modeling context, you are in the right place.”

Table of Contents:

Foreword . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
1 Why Study Differential Equations? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 The 2008 Olympic 100-Meter Dash 1
1.1.1 Usain Bolt’s Olympic Victory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Modeling a Sprint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 The Hill-Keller Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Intracochlear Drug Delivery 5
1.2.1 The Challenge of Hearing Loss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 A Compartmental Model for the Cochlea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 The Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Population Growth and Fishery Management 8
1.3.1 The Need to Manage Fish Harvesting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Modeling Fish Population . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Modeling Harvesting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.4 Parameter Estimation and Harvesting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Where Do We Go from Here? 12
1.4.1 A Toolbox for Describing the World . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Some Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.3 You Already Know How to Solve Some Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 The Blessing of Dimensionality 16
1.5.1 Definition of Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2 The Algebra of Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.3 Derivatives, Integrals, Elementary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.4 Unit-Free Equations and Bending the Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.5 Using Dimension to Find Plausible Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.6 Other Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Modeling Projects 22
1.6.1 Project: Hang Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.2 Project: Money Matters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.3 Project: Ant Tunneling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 First-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 First-Order Linear Equations 27
2.1.1 Example: Solving the Hill-Keller Equation as a Linear ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 A General Procedure for Solving Linear ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.3 Some Common First-Order Linear Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Separable Equations 38
2.2.1 Application: Falling Objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2 Separation of Variables: A First Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.3 The General Procedure for Separation of Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.4 Example: Solving the Falling Object ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.5 Example: Solving the Logistic Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Qualitative and Graphical Insights 48
2.3.1 Direction Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.2 Autonomous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.3 Phase Portraits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.4 Fixed Points and Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.5 Determining the Stability of Fixed Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.6 Bifurcations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4 The Existence and Uniqueness of Solutions 61
2.4.1 Some Inspiration from Calculus 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4.2 What Are Solutions to ODEs? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4.3 The Existence-Uniqueness Theorem for ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.5 Modeling Projects 67
2.5.1 Project: Money Matters 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.5.2 Project: Chemical Kinetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.5.3 Project: A Shot in the Water . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3 Numerical Methods for ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1 The Need for Numerics 77
3.1.1 Logistic Example: Time-Varying Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1.2 Euler’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1.3 Evaluate, Extrapolate, Repeat as Necessary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.1.4 The Accuracy of Euler’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.1.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2 Improvements to Euler’s Method 86
3.2.1 Improving Euler’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2.2 The Improved Euler Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3 Modern Numerical Methods 91
3.3.1 The RK4 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3.2 Adaptive Step Sizing and Error Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.4 Parameter Estimation 100
3.4.1 Hill-Keller Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4.2 Least-Squares Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4.3 Hill-Keller Again . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.4.4 Least Squares For ODE Parameter Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4.5 A Cautionary Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.5 Modeling Projects 116
3.5.1 Project: Sublimation of Carbon Dioxide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.5.2 Project: Fish Harvesting Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.5.3 Project: The Mathematics of Marriage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.5.4 Project: Shuttlecocks and the Akaike Information Criterion . . . . . . . . . . . . . . 124
4 Second-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.1 Vibration and the Harmonic Oscillator 129
4.1.1 The 2010 Chilean Earthquake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.1.2 The Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.1.3 Initial Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.1.4 More Applications of Spring-Mass Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.1.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.2 The Harmonic Oscillator 139
4.2.1 Solving the Harmonic Oscillator ODE: Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.2.2 Solving Second-Order Linear ODEs: The General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.2.3 The Underdamped and Undamped Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.2.4 The General Underdamped Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.2.5 The Critically Damped Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.2.6 The Existence and Uniqueness of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.2.7 Summary and a Physical Perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.2.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.3 The Forced Harmonic Oscillator 159
4.3.1 Solving the Forced Harmonic Oscillator Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.3.2 Finding a Particular Solution: Undetermined Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.3.3 When the Guess Fails . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.3.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.4 Resonance 174
4.4.1 An Example of Resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.4.2 Periodic Forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.4.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.5 Scaling and Nondimensionalization for ODEs 189
4.5.1 Motivation: Nonlinear Springs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.5.2 Characteristic Variable Scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.5.3 Nondimensionalization: Logistic Equation Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
4.5.4 Nondimensionalization: Harvested Logistic Equation Example . . . . . . . . . . . . 195
4.5.5 The General Outline for Nondimensional Rescaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.5.6 Back to the Hard Spring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.5.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4.6 Modeling Projects 205
4.6.1 Project: Earthquake Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.6.2 Project: Stay Tuned—RLC Circuits and Radios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4.6.3 Project: Parameter Estimation with Second-Order ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4.6.4 Project: Bike Shock Absorber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.6.5 Project: The Pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
4.6.6 Project: The Pendulum 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5 The Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.1 Discontinuous Forcing Functions 217
5.1.1 Motivation: Pharmacokinetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.1.2 Complication: Discontinuous Forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.1.3 Complication: Impulsive Forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.1.4 Discontinuous Forcing and Transform Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.1.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.2 The Laplace Transform 222
5.2.1 Definition of the Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.2.2 What Kinds of Functions Can Be Transformed? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.2.3 Laplace Transforms of Elementary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
5.2.4 Solving Differential Equations Using Laplace Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.2.5 The First Shifting Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5.2.6 The Inverse Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.2.7 The Initial and Final Value Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.2.8 Section Summary and Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.2.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.3 Nonhomogeneous Problems and Discontinuous Forcing Functions 242
5.3.1 Some Nonhomogeneous Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.3.2 Discontinuous Forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.3.3 The Second Shifting Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.3.4 Some More Models and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.3.5 Summary and Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
5.3.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
5.4 The Dirac Delta Function 255
5.4.1 Motivational Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
5.4.2 Definition of the Dirac Delta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
5.4.3 Three Models: Money, Masses, and Medication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
5.4.4 The Laplace Transform of the Dirac Delta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
5.4.5 Solving ODEs with Dirac Delta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
5.4.6 Summary and a Few Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
5.4.7 Laplace Transform Table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
5.4.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
5.5 Input-Output, Transfer Functions, and Convolution 270
5.5.1 A System Identification Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
5.5.2 Input-Output Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
5.5.3 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
5.5.4 The Impulse Response and Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
5.5.5 System Identification with Impulsive Input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
5.5.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
5.6 A Taste of Control Theory 283
5.6.1 The Need for Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
5.6.2 Modeling an Incubator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
5.6.3 Open-Loop Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
5.6.4 Closed-Loop Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
5.6.5 Proportional-Integral Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
5.6.6 Proportional-Integral-Derivative Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
5.6.7 Disturbances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
5.6.8 Summary and Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
5.6.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
5.7 Modeling Projects 300
5.7.1 Project: Drug Dosage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
5.7.2 Project: Machine Replacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
5.7.3 Project: Vibration Isolation Table Shakedown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
5.7.4 Project: Segway Scooters and The Inverted Pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
6 Linear Systems of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
6.1 Systems of Differential Equations 311
6.1.1 Motivation: More Pharmacokinetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
6.1.2 Existence and Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
6.1.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
6.2 Linear Constant-Coefficient Homogeneous Systems of ODEs 320
6.2.1 Matrix-Vector Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
6.2.2 Solving the Homogeneous Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
6.2.3 Complex Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
6.2.4 Defective Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
6.2.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
6.3 Linear Constant-Coefficient Nonhomogeneous Systems of ODEs 332
6.3.1 Solving Linear Systems of ODEs with Laplace Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
6.3.2 Undetermined Coefficients for Systems of ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
6.3.3 The Significance of Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
6.3.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
6.4 The Matrix Exponential 340
6.4.1 Inspiration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
6.4.2 Definition of the Matrix Exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
6.4.3 Properties of the Matrix Exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
6.4.4 Solving ODEs with the Matrix Exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
6.4.5 Computing The Matrix Exponential: The Diagonal Case . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
6.4.6 Computing The Matrix Exponential: The Diagonalizable Case . . . . . . . . . . . . 347
6.4.7 Computing The Matrix Exponential: Putzer’s Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
6.4.8 Final Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
6.4.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
6.5 Modeling Projects 353
6.5.1 Project: LSD Compartment Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
6.5.2 Project: Homelessness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
6.5.3 Project: Tuned Mass Dampers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
7 Nonlinear Systems of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
7.1 Autonomous Nonlinear Systems and Direction Fields 361
7.1.1 Some Nonlinear ODE Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
7.1.2 Direction Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
7.1.3 A Nonlinear Direction Field Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
7.1.4 Direction Fields in Higher Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
7.1.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
7.2 Direction Fields and Phase Portraits for Linear Systems 371
7.2.1 Direction Fields for Homogeneous Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
7.2.2 Application to the LSD Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
7.2.3 The Equation ˙x = Ax+b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
7.2.4 Direction Fields for Larger Systems of ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
7.2.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
7.3 Autonomous Nonlinear Systems and Phase Portraits 382
7.3.1 Sketching Phase Portraits for Nonlinear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
7.3.2 Linearizing ODEs at Equilibrium Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
7.3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
7.4 Analyzing Systems with Unspecified Parameters 394
7.4.1 Sketching Phase Portraits with Unspecified Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
7.4.2 Linearizing the Competing Species Model with General Parameters . . . . . . . 397
7.4.3 Conclusions for Competing Species . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
7.4.4 Higher-Dimensional Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
7.4.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
7.5 Numerical Methods for Systems of First Order ODE’s 404
7.5.1 Extending Basic Numerical Methods to Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
7.5.2 Stiff Systems of ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
7.5.3 Implicit Numerical ODE Solvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
7.5.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
7.6 Additional Techniques for Systems of First Order ODEs 423
7.6.1 First Integrals and Conservative Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
7.6.2 Lyapunov Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
7.6.3 Linearization and the Routh-Hurwitz Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
7.6.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
7.7 Modeling Projects 444
7.7.1 Project: Homelessness Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
7.7.2 Project: Predator-Prey Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
7.7.3 Project: Parameter Estimation for Competing Yeast Species . . . . . . . . . . . . . 446
8 An Introduction to Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 449
8.1 Conservation of Stuff and the Continuity Equation 449
8.1.1 Industrial Furnaces and Metal Production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
8.1.2 Conservation of Stuff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
8.1.3 The Continuity Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
8.1.4 The Heat Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
8.1.5 Some Solutions to the Heat Equation: Separation of Variables and Linearity . 458
8.1.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
8.2 Fourier Series 464
8.2.1 An Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
8.2.2 Approximating Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
8.2.3 The Fourier Cosine Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
8.2.4 The Fourier Sine Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
8.2.5 More on Fourier Series Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
8.2.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
8.3 Solving the Heat Equation 483
8.3.1 Homogeneous Dirichlet Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
8.3.2 Insulating Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
8.3.3 Other Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
8.3.4 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
8.3.5 Solving the Nonhomogeneous Heat or Diffusion Equation . . . . . . . . . . . . . . . 494
8.3.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
8.4 The Advection and Wave Equations 501
8.4.1 The Advection Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
8.4.2 Solution to the Advection Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
8.4.3 The Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
8.4.4 Solution to the Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
8.4.5 The Wave Equation on the Real Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
8.4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
8.5 Modeling Projects 518
8.5.1 Project: It’s a Blast (Furnace)! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
8.5.2 Project: Finding Polluters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
8.5.3 Project: Strung Out . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
8.5.4 Project: Frequency Analysis of Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
8.5.5 Project: It’s All Relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
A Appendix Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541
A.1 Motivation and Definition 541
A.2 Arithmetic with Complex Numbers 542
A.3 Exponentiation of Complex Numbers 544
A.4 The Fundamental Theorem of Algebra 545
A.5 Partial Fraction Decompositions over the Complex Numbers 548
A.6 Additional Exercises 550
B Appendix Matrix Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
B.1 Linear System of Equations 551
B.2 Matrix Algebra 554
B.3 Eigenvalues and Eigenvectors 559
B.4 The Eigenvalues for a General Two by Two Matrix 562
B.5 Diagonalization 564
B.6 Additional Exercises 566
C Appendix Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
C.1 Current, Voltage, and Resistance 569
C.2 Capacitors 571
C.3 Inductors 574
C.4 RLC Circuits 576
C.5 Complex-Valued Solutions and Periodic Forcing 578
C.6 Impedance in Electrical Circuits 580
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
Back Cover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598

Kurt Bryan, PhD, is Professor of Mathematics at the Rose-Hulman Institute of Technology. Dr. Bryan has published morethan twenty journal articles, and he currently focuses his researchon partial differential equations related to electrical and thermalimaging.

What makes us different?

• Instant Download

• Always Competitive Pricing

• 100% Privacy

• FREE Sample Available

• 24-7 LIVE Customer Support